2022武汉中考数学之幻方及其构造

组合三年级四年级幻方PDF下载

武汉刚刚结束中考，数学整体难度不大，数学选择题第$10$题出了一道幻方题，估计很多同学有点懵，幻方是经典的小奥内容，下面给出解法以及幻方具体的构造。

1. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方————九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方。图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）

   A. 9

   B. 10

   C. 11

   D. 12

   【答案】D

   • 易得$b=20+6-22=4$，由黄金三角得$y+6=2\times 4$，所以$y=2$，$c=22+2-6=18$，$x=(18+2)\div 2=10$，因此$x+y=10+2=12$。

一、幻方起源

对于大于或等于$3$的整数$n$，构造$n\times n$的方阵或表格，将$1$到$n^2$的填到格子中，使得每行、每列和两条主对角线上格子里的数的和都相等，就构成了一个“幻方”。这种幻方称为“经典幻方”。$n$是这个幻方的“阶”，每行、每列和两条主对角线的数之和称为“幻和"。幻和等于总和$1+2+3+\cdots+n^2$除以阶数$n$，即

$$\dfrac{1+2+3+\cdots+n^2}{n}=\dfrac{(n^2+1)n}{2}$$

幻方（$Magis Square$）起源于《周易》之河图、洛书。

相传，大禹治水，三顾家门而不入，造福于四方百姓，事迹惊天动地，于是黄河龙马献图，名曰”河图”，洛水神龟背书，名曰“洛书”，大禹依此平息了洪水。

洛书翻泽出来就是一个三阶幻方，这是世界上发现的第一个幻方，它以$1$～$9$自然数列构成一个$3\times 3$正方数阵，其$3$行、$3$列及$2$条主对角线上各三数之和全等于常数”$15$”。

幻方是中国人最早发现和着手研究的，到南宋时期，我国数学家杨辉著书介绍幻方，成为第一个研究幻方的人，他给出了最高十阶的幻方。

二、从三阶幻方谈起

不背口诀的情况下如何构造出一个三阶幻方？

1. 计算幻和

幻和$=(1+2+3+\cdots +9)\div 3=15$

2. 算中心数

设中心数为$e$，则$4\times 15=1+2+\cdots +9+3e$，所以$e=5$。

3. 黄金三角

根据重叠$=$未覆盖，易得$2a=h+f$，那么$a$不可能等于$1$，否则$h+f=2$，不成立，同理四个角都不可能是$1$，那么$1$一定在$b$、$d$、$f$、$h$的位置，不妨设$h=1$，那么$b=9$，因此$a+c=15-9=6$，$6=1+5=2+4=3+3$，$1$和$5$已经使用过，$3$和$3$不可能，故只能$2$、$4$为肩，$1$、$5$、$9$、$2$、$4$确定好之后，剩下的格子就是唯一的。与此同时我们可以得到三阶幻方有$4\times 2=8$种填法，因为$5$的填法唯一，$1$可以填$4$个角，有$4$种选择，接下来$2$和$4$交换位置有$2$种填法，剩下的数字唯一确定。

三、奇数阶幻方的构造

1. 杨辉法（三阶幻方）

2. 阶梯法

阶梯法（$terraces method$）也叫楼梯法（$staircase method$），是法国数学家巴赫特（$Bachet de M$é$ziriac$）创造的。这个方法把$n$阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把$1$~$n^2$个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分中去，即构成幻方。这个方法十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方。

3. 罗伯法

把$1$放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底；如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。这个方法同样也适用于所有奇数阶幻方。