四边形$ABCD$内有一点$M$使得$\triangle ABM$、$\triangle CDM$均为等腰直角三角形,$P$为$AD$的中点,已知$BC=18$,三角形$BCM$中$BC$边上的高为$8$,求$\triangle PBC$的面积.
将三角形$ADM$顺时针旋转$90{}^\circ $得$\triangle { {A}^{\prime } }CM$,易知$PM$垂直于${ {P}^{\prime } }M$,且${ {P}^{\prime } }M$为三角形${ {A}^{\prime } }BC$的中位线,可知
$${ {P}^{\prime } }M=BC\div 2=9$$
由于$PM$垂直于${ {P}^{\prime } }M$,所以$PM$也垂直$BC$,可知三角形$PBC$的面积为
$$18\times \left( 9+8 \right)\div 2=153$$
如图,构造弦图,易得$MG=BI$,$HM=IC$,所以
$$\begin{aligned} GI+HI&=MG+MI+HM+MI& \\ &=BI+IC+2MI \\ &=BC+2MI \\ &=18+2\times 8 \\ &=34 \end{aligned}$$而$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times GI$$
$$S_{\triangle DBC}=\frac{1}{2}\times BC\times HI$$
那么
$$\begin{aligned} S_{\triangle ABC}+S_{\triangle DBC}&=\frac{1}{2}\times BC\times(GI+HI) \\ &=\dfrac{1}{2}\times18\times (18+16) \\ &=306 \end{aligned}$$因此$$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle DBC})=153$$
如图,连接$MP$并延长至$M^{\prime}$,使得$PM^{\prime}=PM$,连接$DM^{\prime}$,易得
$$\triangle MPA \cong \triangle M^{\prime}PD$$
所以$MA=M^{\prime}D$,故$BM=M^{\prime}D$,$CM=MD$,$\angle BMC=M^{‘}DM$,所以
$$\triangle BMC \cong \triangle M^{\prime}DM$$
故$PM=\dfrac{1}{2}MM^{\prime}=\dfrac{1}{2}BC=9$,且$PM$和$BC$垂直,那么
$$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times 18 \times (9+8)=153$$