如图,正六边形$ABCDEF$相对两边之间的距离为$6$,点$O$为正六边形内部一点,过$O$分别向三条线段$AF$、$BC$、$DE$作垂线,交点分别为$X$、$Y$、$Z$($X$、$Y$、$Z$分别在线段$AF$、$BC$、$DE$上),那么使得$OX$、$OY$、$OZ$都是整数的点$O$一共有多少个?
如图,将正六边形各边延长变成正三角形$GHI$,过$I$作$IJ$垂直$GH$于$J$,则
$$OX+OY+OZ=IJ=6\times \dfrac{3}{2}=9$$
因为$O$为正六边形内部一点,$OX$、$OY$、$OZ$不为$0$,若三条线段至少为$2$,这样的$O$一共有$C_{5}^{2}=10$个
若三条线段中有$1$,则只能是$1$、$4$、$4$,这样的情况有$3$种,共$10+3=13$个.
如图,将正六边形等分,因此这样的点一共有$13$个