详解PDF下载
试题PDF下载
在方格中填入数字，要求：①只能填入$1$或$2$；②每行每列都至少填入一个数；③每一行或每一列的数字均为$1$、$2$、$1$、$2$、$1$、$\cdots$($1$和$2$交替出现，且$2$不能出现在首尾)．
(1)如果放入$4\times 4$的方格中有多少种方法？
(2)如果放入$5\times 5$的方格中有多少种方法？
(不可以翻转或旋转)【北京雨朦改编】
显然，$2$不能出现在最边上，每一行或每一列只能是$1$、$121$、$12121$、$\cdots$，中间可以空．
(1)我们按照$2$的数量来分类：
①$0$个$2$：$4$个$1$放入$4\times 4$的方格中，每行每列放$1$个，由乘法原理易得有$4\times 3\times 2\times 1=24$种．
②$1$个$2$：$2$只能放入中间的$2\times 2$的方格中，$A$、$B$中放入$1$个$1$，$C$、$D$中放入$1$个$1$，另外$2$的位置可以交换，有$4\times 2\times 2=16$种．
③$2$个$2$：显然只有$2$种．
综上所述，一共有$24+16+2=42$种．
(2)依然按照$2$的数量来分类：
①$0$个$2$：$5$个$1$放入$5\times 5$的方格中，每行每列放$1$个，由乘法原理易得有$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$种．
②$1$个$2$：$2$所在的行和列是对称的，考虑行．若$B=2$或$D=2$，这一行的$121$有$1\times 3=3$种，若$C=2$，这一行的$121$有$2\times 2=4$种，$2$所在的行列填完后，还剩下两行两列，两个$1$有$2$种填法，共有$(3+3+4)^2\times 2=200$种．
③$2$个$2$：共$6$大类，有$4\times 0+2\times 3+4\times 8+2\times 4+8\times 4+4\times 4=94$种．
④$3$个$2$：共$3$大类，有$4\times 2+4\times 1+2\times 1=14$种．
⑤$4$个$2$：$1$种．
综上所述，一共有$120+200+94+14+1=429$种．
已知矩阵$X$满足条件：①元素都属于集合${0,1,-1}$；②每行每列不全为$0$；③去掉$0$元素后每行每列都为$1$，$-1$，$1$，$-1$，$\cdots$，$-1$，$1$．三阶这样的矩阵$X$有$7$个，问四阶这样的矩阵$X$共有几个？
【答案】$42$
【解析】若矩阵$X$不含元素$-1$，则每一行每一列都仅含有一个元素$1$，矩阵$X$共$4!=24$个；若矩阵$X$含有元素$-1$，则$-1$必然在矩阵$X$的一个$2\times 2$子矩阵中
$$\begin{bmatrix} \square & \square & \square & \square \\ \square & a & b &\square \\ \square & c & d &\square \\ \square & \square & \square & \square \end{bmatrix}$$
若$a=-1$，则矩阵$X$共有5个
$$\begin{bmatrix} \square & 1 & \square & \square \\ 1 & -1 & \square & 1 \\ \square & \square & 1 &\square \\ \square & 1 & \square & \square \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \square & 1 & \square & \square \\ 1 & -1 & \square & 1 \\ \square & 1 & \square &\square \\ \square & \square & 1 & \square \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \square & 1 & \square & \square \\ 1 & -1 & 1 & \square \\ \square & \square & \square & 1 \\ \square & 1 & \square & \square \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \square & 1 & \square & \square \\ 1 & -1 & 1 & \square \\ \square & 1 & \square & \square \\ \square & \square & \square & 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \square & 1 & \square & \square \\ 1 & -1 & 1 & \square \\ \square & 1 & -1 & 1 \\ \square & \square & 1 & \square \end{bmatrix}$$
同理可得，当$b=-1$或$c=-1$或$d=-1$，矩阵$X$都共有$5$个，考虑$a=-1$与$d=-1$的情况有一个矩阵重复计算，$b=-1$与$c=-1$有一个矩阵重复计算，因此当矩阵$X$含有元素$-1$，一共有$4\times 5-2=18$个．
综上所述，四阶矩阵$X$一共有$24+18=42$个．
Robbins numbers:
$$a_{n}= \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\dfrac{(3k+1)!}{(n+k)!} $$
当$n=1$时，$a_{1}=\dfrac{1!}{1!}=1$
当$n=2$时，$a_{2}=\dfrac{1!}{2!}\times \dfrac{4!}{3!}=2$
当$n=3$时，$a_{3}=\dfrac{1!}{3!} \times \dfrac{4!}{4!} \times \dfrac{7!}{5!}=7$
当$n=4$时，$a_{4}=\dfrac{1!}{4!}\times \dfrac{4!}{5!} \times \dfrac{7!}{6!} \times \dfrac{10!}{7!}=42$
当$n=5$时，$a_{5}=\dfrac{1!}{5!}\times \dfrac{4!}{6!} \times \dfrac{7!}{7!} \times \dfrac{10!}{8!} \times \dfrac{13!}{9!}=429$
