问题36 黑白染色，有多少种不同的染色方式？

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如图是由$13$个正三角形拼成的一个六边形，将每个正三角形染成黑色或白色，共有多少种不同染色方式？（旋转、翻转重合算同一种）

解析

如图，将$13$块正三角形从$1$~$13$依次编号

(1)不旋转：$2^{13}$

(2)旋转$120^{\circ}$：$(1,9,5)$、$（2,10,6）$、$（2,10,6）$、$（3,11,7）$、$（13）$

(3)旋转$240^{\circ}$：同上

(4)$3$种对称：$(1)$、$(13)$、$(7)$、$(2,12)$、$(3,13)$、$(4,10)$、$(5,9)$、$(6,8)$

所以共$\dfrac{1}{6}\times (2^{13}+2\times 2^5+3\times 2^8)=1504$种．