因式分解训练第7篇 换元法

分解因式：$\left( {x}^{2}+5x+2 \right)\left( {x}^{2}+5x+3 \right)-12$．

【答案】$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left({x}^{2}+5x-1\right)$．

• 令$y={x}^{2}+5x$，则
  原式$=\left( y+2 \right)\left( y+3 \right)-12={y}^{2}+5y-6$
  $\hspace{2em}=\left( y+6 \right)\left( y-1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( {x}^{2}+5x+6 \right)\left( {x}^{2}+5x-1 \right)$
  $\hspace{2em}=\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( {x}^{2}+5x-1 \right)$．

分解因式：$\left( {x}^{2}+8x+7 \right)\left( {x}^{2}+8x+15 \right)+16$．

【答案】${\left( {x}^{2}+8x+11 \right)}^{2}$．

• 令$y={x}^{2}+8x$，则
  原式$=\left( y+7 \right)\left( y+15 \right)+16$
  $={y}^{2}+22y+121$
  $={\left( y+11 \right)}^{2}$
  $={\left( {x}^{2}+8x+11 \right)}^{2}$．

分解因式：$\left(x^2-x-3\right)\left(x^2-x-5\right)-3$．

【答案】$\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)$．

• 令$y=x^2-x-4$，则
  原式$=\left(y+1\right)\left(y-1\right)-3$
  $\hspace{2em}=y^2-1-3$
  $\hspace{2em}=y^2-4$
  $\hspace{2em}=\left(y-2\right)\left(y+2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x^2-x-6\right)\left(x^2-x+2\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

分解因式：${\left(x-2\right)}^{3}-{\left(y-2\right)}^{3}-{\left(x-y\right)}^{3}$

【答案】$3\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(x-y\right)$

• 令$a=x-2$，$b=y-2$，则$x-y=a-b$，
  原式$={a}^{3}-{b}^{3}-{\left(a-b\right)}^{3}$
  $\hspace{2em}=3ab\left(a-b\right)$
  $\hspace{2em}=3\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(x-y\right)$．

分解因式：${\left({x}^{2}+4x+8\right)}^{2}+3\left({x}^{2}+4x+8\right)+2$．

【答案】$\left({x}^{2}+4x+9\right)\left({x}^{2}+4x+10\right)$

• 令$t=x^2+4x+8$，则
  原式$=t^2+3t+2$
  $\hspace{2em}=\left(t+1\right)\left(t+2\right)$
  $\hspace{2em}=\left({x}^{2}+4x+9\right)\left({x}^{2}+4x+10\right)$

分解因式：${\left({x}^{2}+4x+8\right)}^{2}+3x\left({x}^{2}+4x+8\right)+2{x}^{2}$．

【答案】$\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left({x}^{2}+5x+8\right)$

• 令$t=x^2+4x+8$，则
  原式$={t}^{2}+3xt+2{x}^{2}$
  $\hspace{2em}=\left(t+x\right)\left(t+2x\right)$
  $\hspace{2em}=\left({x}^{2}+4x+8+x\right)\left({x}^{2}+4x+8+2x\right)$
  $\hspace{2em}=\left({x}^{2}+5x+8\right)\left({x}^{2}+6x+8\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left({x}^{2}+5x+8\right)$．

分解因式：${\left( x+y \right)}^{2}+6x+6y+9$．

【答案】${\left(x+y+3\right)}^{2}$．

• 令$a=x+y$，则
  原式$={a}^{2}+6a+9$
  $\hspace{2em}={\left(a+3\right)}^{2}$
  $\hspace{2em}={\left(x+y+3\right)}^{2}$．

分解因式：$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1$．

【答案】${\left({x}^{2}+5x+5\right)}^{2}$．

• 令$t=x^2+5x+5$，则
  原式$=\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1$
  $\hspace{2em}=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1$
  $\hspace{2em}=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1$
  $\hspace{2em}=t^2-1+1$
  $\hspace{2em}=t^2$
  $\hspace{2em}={\left({x}^{2}+5x+5\right)}^{2}$

分解因式：$\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)+15$．

【答案】$\left( x+2 \right)\left( x+6 \right)\left( {x}^{2}+8x+10 \right)$．

• 令$t=x^2+8x+11$，则
  原式$=\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+15$
  $\hspace{2em}=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15$
  $\hspace{2em}=\left(t-4\right)\left(t+4\right)+15$
  $\hspace{2em}=t^2-16+15$
  $\hspace{2em}=t^2-1$
  $\hspace{2em}=\left(t-1\right)\left(t+1\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+12\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+10\right)$

分解因式：$\left({a}^{2}-1\right)\left(a-2\right)\left(a-4\right)-72$．

【答案】$\left(a+2\right)\left(a-5\right)\left({a}^{2}-3a+8\right)$．

• 令$t=a^2-3a-1$，则
  原式$=\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-4\right)-72$
  $\hspace{2em}=\left(a+1\right)\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a-2\right)-72$
  $\hspace{2em}=\left(a^2-3a-4\right)\left(a^2-3a+2\right)-72$
  $\hspace{2em}=\left(t-3\right)\left(t+3\right)-72$
  $\hspace{2em}=t^2-9-72$
  $\hspace{2em}=t^2-81$
  $\hspace{2em}=\left(t-9\right)\left(t+9\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a^2-3a-10\right)\left(a^2-3a+8\right)$
  $\hspace{2em}=\left(a+2\right)\left(a-5\right)\left(a^2-3a+8\right)$

分解因式：$\left({x}^{2}+3x+2\right)\left(3+8x+4{x}^{2}\right)-90$．

【答案】$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)\left(2x^2+5x+12\right)$．

• 令$t=2x^2+5x$，则
  原式$=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)-90$
  $\hspace{2em}=\left(x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x+2\right)\left(2x+1\right)-90$
  $\hspace{2em}=\left(2x^2+5x+3\right)\left(2x^2+5x+2\right)-90$
  $\hspace{2em}=\left(t+3\right)\left(t+2\right)-90$
  $\hspace{2em}=t^2+5t-84$
  $\hspace{2em}=\left(t-7\right)\left(t+12\right)$
  $\hspace{2em}=\left(2x^2+5x-7\right)\left(2x^2+5x+12\right)$
  $\hspace{2em}=\left(x-1\right)\left(2x+7\right)\left(2x^2+5x+12\right)$

分解因式：${\left( {a}^{2}+1 \right)}^{2}+{\left( {a}^{2}+5 \right)}^{2}-4{\left( {a}^{2}+3 \right)}^{2}$．

【答案】$-2\left( {a}^{2}+5 \right)\left( {a}^{2}+1 \right)$．

• 令$t=a^2+3$，则
  原式$={\left( t-2 \right)}^{2}+{\left( t+2 \right)}^{2}-4{t}^{2}$
  $\hspace{2em}=-2{t}^{2}+8$
  $\hspace{2em}=-2\left( t+2 \right)\left( t-2 \right)$
  $\hspace{2em}=-2\left( {a}^{2}+5 \right)\left( {a}^{2}+1 \right)$

分解因式：$\left(a+b-2ab\right)\left(a+b-2\right)+\left(1-ab\right)^2$．

【答案】$\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2$

• 令$x=a+b$，$y=ab$，则
  原式$=\left(x-2y\right)\left(x-2\right)+\left(1-y\right)^2$
  $\hspace{2em}=x^2-2xy+y^2+2y-2x+1$
  $\hspace{2em}=\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1$
  $\hspace{2em}=\left(x-y-1\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(a+b-ab-1\right)^2$
  $\hspace{2em}=\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2$

分解因式：${\left(a-b+1\right)}^{3}-{\left(c+1-b\right)}^{3}+{\left(c-a\right)}^{3}$

【答案】$3\left( a-c \right)\left( a-b+1 \right)\left( c-b+1 \right)$

• 令$x=a-b+1$，$y=c+1-b$，则$y-x=c-a$
  原式$={x}^{3}-{y}^{3}+{\left(y-x\right)}^{3}$
  $\hspace{2em}=3xy\left( x-y \right)$
  $\hspace{2em}=3\left( a-c \right)\left( a-b+1 \right)\left( c-b+1 \right)$．

因式分解：${\left( {x}^{2}+xy+{y}^{2} \right)}^{2}-4xy\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)$．

【答案】${\left( {x}^{2}+{y}^{2}-xy \right)}^{2}$．

• 令$a=x^2+y^2$，$b=xy$，则
  原式$={\left( a+b \right)}^{2}-4ab$
  $\hspace{2em}={\left( a-b \right)}^{2}$
  $\hspace{2em}={\left( {x}^{2}+{y}^{2}-xy \right)}^{2}$．