问题21 证明面积相等

在梯形$ABCD$的底边$AD$（或其延长线）上任取一点$N$，过$N$作平行于对角线$AC$，$BD$的直线，分别交边$CD$（或$CD$的延长线）、$AB$（或$AB$的延长线）于点$K$，$M$，证明$\triangle BMN$与$\triangle NKC$的面积相等．

法1

如图，不妨设$AN:ND=a:b$，因为$MN//BD$，$NK//AC$，则

$$AM:MB=AN:ND=a:b$$

$$CK:KD=AN:ND=a:b$$

那么

$$S_{\triangle BMN}=S_{\triangle ADB}\times \dfrac{a}{a+b}\times \dfrac{b}{a+b}$$

$$S_{\triangle NKC}=S_{\triangle ADC}\times \dfrac{b}{a+b}\times \dfrac{a}{a+b}$$

因为

$$S_{\triangle ADB}=S_{\triangle ADC}$$

所以

$$S_{\triangle BMN}=S_{\triangle NKC}$$

法2：【上海】风雨

如图，$S_{\triangle BMN}:S_{\triangle BDN}=MN:BD=AN:AD=CK:CD=S_{\triangle CKN}:S_{\triangle CDN}=S_{\triangle CKN}:S_{\triangle BDN}$，所以$S_{\triangle BMN}=S_{\triangle NKC}$．

法3：【上海】石头

如图，构造两个梯形$BEAN$、$CFDN$，易得$BE:AN=DN:CF$，所以$S_{\triangle BMN}=S_{\triangle NKC}$．

法4：【上海】石头