问题41 所有不同质因数的乘积

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对于大于$1$的自然数$n$，设$(n)$表示$n$的所有不同质因数的乘积，比如$(3)=3$，$(12)=2\times 3=6$，规定$(1)=1$．

(1)求$(216)$、$(8)+(25)$、$(15)\times (18)$．

(2)若$(4n)=(n)$，那么最小的$3$个$n$是多少？

(3)什么时候满足$(a\times b)=(a)\times (b)$？

(4)什么时候满足$(a\times b)<(a)\times (b)$？

解析

(1)$(216)=2\times 3=6$，$(8)+(25)=2+5=7$，$(15)\times (18)=15\times 6=90$．

(2)若$(4n)=(n)$，说明$n$含质因数$2$，所以最小的$3$个$n$是$2$、$4$、$6$．

(3)$(a,b)=1$时．

(4)$(a,b)\neq1$时．