问题71 看起来是小学几何题，但实际是道高中题（第三篇）

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如图，一个长方形内有两个圆，已知长方形的长和宽分别是$20$和$10$，求阴影部分的面积。

解析

之所以动笔写这个系列，是因为每年这一系列的题目都会流传于各个群，学生问，老师也问，明明是道高中题，但很多人试图用小学知识来解决，因为这一些列的题目上一般配有一段很夸张的文字，诸如：小学题，求阴影部分面积；某地小升初数学题；求阴影面积（六年级），总之一定要强调一下小学、小升初、六年级等关键字。

接下来我们彻底来解决这一系列的题目，大家也要站在更高的角度，能够分辨出这到底是什么水平的题目。需要用到的基础知识：三角函数（初中）、反三角函数（高中）、弧度（高中）

这道题的小学版本是下图，很容易得到阴影的面积，用长方形减去两个圆再除以$2$即可

$$S_{黑} = (20\times 10 -2\times \pi \times 5^2) \div 2= 100-25\pi$$

再求出下图的面积，然后减去即可。

这一小块继续使用整体减空白

$$S_{红} = \dfrac{1}{4}\pi \times 5^2 = \dfrac{25}{4}\pi$$

另一方面，由三角函数易得$\tan \alpha = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$，那么$\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \beta =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

由反三角函数可得$\alpha = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}}$，$\beta = \arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

扇形的面积用角度来表示是$\dfrac{n^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2$，改用弧度更方便：$\dfrac{|n|}{2\pi} \pi r^2 = \dfrac{|n|}{2} r^2$

$$\begin{aligned} S_{蓝}&=\dfrac{\pi-2\alpha}{2} \times 5^2 - \dfrac{1}{2}\times 5\times 5\times \sin (180^{\circ}-2\alpha)\\ &= (\dfrac{\pi}{2}- \alpha)\times 5^2 - \dfrac{1}{2}\times 5^2 \times \sin 2\alpha \\ &= (\dfrac{\pi}{2}- \alpha)\times 5^2 - \dfrac{1}{2}\times 5^2 \times 2\sin \alpha\cos \alpha \\ &= (\dfrac{\pi}{2}- \alpha)\times 5^2 -10 \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} S_{阴影}&=S_{黑} - (S_{红} - S_{蓝})\\ &=100-25\pi - \bigg[\dfrac{25}{4}\pi-\bigg((\dfrac{\pi}{2}- \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}})\times 5^2 -10\bigg)\bigg] \\ &\approx 19.504 \end{aligned}$$