问题69 看起来是小学几何题，但实际是道高中题（第一篇）

几何三角函数PDF下载

如图，一个正方形内有两段圆弧，已知正方形的边长是$10$，求阴影部分的面积。

解析

之所以动笔写这个系列，是因为每年这一系列的题目都会流传于各个群，学生问，老师也问，明明是道高中题，但很多人试图用小学知识来解决，因为这一些列的题目上一般配有一段很夸张的文字，诸如：小学题，求阴影部分面积；某地小升初数学题；求阴影面积（六年级），总之一定要强调一下小学、小升初、六年级等关键字。

接下来我们彻底来解决这一系列的题目，大家也要站在更高的角度，能够分辨出这到底是什么水平的题目。需要用到的基础知识：三角函数（初中）、反三角函数（高中）、弧度（高中）

思路1：容斥原理

四边形的面积很好求：$\dfrac{1}{2}\times 10\times 5 \times 2 =50$

要求扇形的面积必须要求出$\alpha$和$\beta$

由三角函数易得$\tan \alpha = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$，那么$\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \beta =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

由反三角函数可得$\alpha = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}}$，$\beta = \arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

扇形的面积用角度来表示是$\dfrac{n^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2$，改用弧度更方便：$\dfrac{|n|}{2\pi} \pi r^2 = \dfrac{|n|}{2} r^2$

所以

$$\begin{aligned} S_{阴影}&=\dfrac{2\alpha}{2} \pi R^2 + \dfrac{2\beta}{2} \pi r^2 - 50\\ &= \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}}\times \pi \times 10^2 + \arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5}}\times \pi \times 5^2 -50\\ &\approx 24.043 \end{aligned}$$

思路2：微积分

我们以左下角为圆心建立坐标系，那么两个圆的方程分别是

$$ \tag{1} (x-5)^2+y^2=25$$

$$ \tag{2} x^2 + (y-10)^2 =100$$

联立可得

$$ \begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}$$

并且

$$ \tag{3} y_{1} = \sqrt{10x - x^2}$$

$$ \tag{4} y_{2} = 10 - \sqrt{100 - x^2}$$

因此

$$S_{阴影} = \int_{0} ^ {8} (y_{1} - y_{2})dx \approx 24.043$$