如图,一个正方形内有两段圆弧,已知正方形的边长是$10$,求阴影部分的面积。
之所以动笔写这个系列,是因为每年这一系列的题目都会流传于各个群,学生问,老师也问,明明是道高中题,但很多人试图用小学知识来解决,因为这一些列的题目上一般配有一段很夸张的文字,诸如:小学题,求阴影部分面积;某地小升初数学题;求阴影面积(六年级),总之一定要强调一下小学、小升初、六年级等关键字。
接下来我们彻底来解决这一系列的题目,大家也要站在更高的角度,能够分辨出这到底是什么水平的题目。需要用到的基础知识:三角函数(初中)、反三角函数(高中)、弧度(高中)
四边形的面积很好求:$\dfrac{1}{2}\times 10\times 5 \times 2 =50$
要求扇形的面积必须要求出$\alpha$和$\beta$
由三角函数易得$\tan \alpha = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$,那么$\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$,$\sin \beta =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
由反三角函数可得$\alpha = \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}}$,$\beta = \arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
扇形的面积用角度来表示是$\dfrac{n^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2$,改用弧度更方便:$\dfrac{|n|}{2\pi} \pi r^2 = \dfrac{|n|}{2} r^2$
所以
$$\begin{aligned} S_{阴影}&=\dfrac{2\alpha}{2} \pi R^2 + \dfrac{2\beta}{2} \pi r^2 - 50\\ &= \arcsin \dfrac{1}{\sqrt{5}}\times \pi \times 10^2 + \arcsin \dfrac{2}{\sqrt{5}}\times \pi \times 5^2 -50\\ &\approx 24.043 \end{aligned}$$我们以左下角为圆心建立坐标系,那么两个圆的方程分别是
$$ \tag{1} (x-5)^2+y^2=25$$
$$ \tag{2} x^2 + (y-10)^2 =100$$
联立可得
$$ \begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}$$并且
$$ \tag{3} y_{1} = \sqrt{10x - x^2}$$
$$ \tag{4} y_{2} = 10 - \sqrt{100 - x^2}$$
因此
$$S_{阴影} = \int_{0} ^ {8} (y_{1} - y_{2})dx \approx 24.043$$