如图,一个正方形内有一个圆和两段圆弧,已知正方形的边长是$10$,求阴影部分的面积。
之所以动笔写这个系列,是因为每年这一系列的题目都会流传于各个群,学生问,老师也问,明明是道高中题,但很多人试图用小学知识来解决,因为这一些列的题目上一般配有一段很夸张的文字,诸如:小学题,求阴影部分面积;某地小升初数学题;求阴影面积(六年级),总之一定要强调一下小学、小升初、六年级等关键字。
接下来我们彻底来解决这一系列的题目,大家也要站在更高的角度,能够分辨出这到底是什么水平的题目。需要用到的基础知识:反三角函数(高中)、余弦定理(高中)
这道题小学的版本如下,利用小学知识即可解决,割补法:$2\times ($大弯角$-$小弯角$)$,具体不再计算。
然而我们要讨论的这道题目有$4$小块阴影被删掉了,需要用高中知识才能解决,我们开始。
先说思路:阴影的面积用大弓形$-$小弓形,然后再$\times 2$即可,弓形的面积用扇形$-$三角形,那么必须先求出角度,角度用余弦定理即可解决。
易得$AB= 10$,$OB=5$,$AO = 10\sqrt{2} \div 2 =5\sqrt{2}$,由余弦定理可得
$$\cos \alpha = \dfrac{10^2 + (5\sqrt{2})^2 - 5^2}{2 \times 10 \times 5\sqrt{2}}=\dfrac{5}{4\sqrt{2}}$$
$$\cos \beta = \dfrac{10^2 + 5^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \times 10 \times 5}=\dfrac{3}{4}$$
由反三角函数可得$\alpha = \arccos \dfrac{5}{4\sqrt{2}}\approx 27.88557^{\circ}$,$\beta = \arccos \dfrac{3}{4}\approx 41.40962^{\circ}$
那么$2\alpha \approx 55.7711^{\circ}$,$2\alpha +2\beta \approx 138.5904^{\circ}$
因此
$$S_{红} =\dfrac{138.5904}{360}\times \pi \times 5^2 - \dfrac{1}{2}\times 5^2 \times \sin 138.5904^{\circ}\approx 21.968$$
$$S_{绿} =\dfrac{55.7711}{360}\times \pi \times 10^2 - \dfrac{1}{2}\times 10^2 \times \sin 55.7711^{\circ}\approx 7.330$$
那么
$$S_{阴影}=2\times (S_{红} -S_{绿} )= 2\times (21.968 - 7.330) \approx29.276$$