试卷详解
空白试卷
一、填空题（每小题8分，共32分）
- 定义新运算“$ \otimes $”：$a \otimes b = \dfrac{\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right)}{a \times b} - 1$，那么算式$( 43 \otimes 47)\times 43 \times 47$ 的计算结果是________．
【答案】$3$
【解析】原式$=[\dfrac{(43+1)\times (47-1)}{43\times 47}-1]\times 43\times 47=44\times 46-43\times 47=45^2-1-(45^2-2^2)=4-1=3$．
- 如图，一道除法竖式中已经填出了“$2021$”，那么正确算式的除数是________．
【答案】$109$
【解析】$21146\div 109=194$．
- 指纹识别在日常生活中有非常广泛的应用，使用指纹识别之前需要先录入指纹．迎春电子厂研发了一套指纹录入系统，首次按压能录入$\dfrac{4}{5}$的图案，之后每次按压能录入余下图案的如$\dfrac{1}{2}$果指纹图案的完整度不小于$99\%$则算是录入成功．那么，成功录入一个指纹至少需要按压_______次．
【答案】$6$
【解析】首次录入$\dfrac{4}{5}=80 \%$，还剩下$20 \%$，接下来每次剩下上次的一半，当剩下不超过$1\%$时录入成功
$$20\times (1-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{5}{4}>1$$
$$20\times (1-\dfrac{1}{2})^5=\dfrac{5}{8} < 1$$
故至少需要$6$次．
如图，某款“风车”玩具由边长为$20$厘米的正方形和四个直角边为$10$厘米的等腰直角三角形组成．图中四块空白部分为扇形，则阴影部分面积是________平方厘米．
【答案】$286$
【解析】$S_{阴影}=10^2\times 2+20^2-\pi \times 10^2=286$．
二、填空题（每小题10分，共40分）
- 已知刚开采出来的铁矿主要含有的是铁和其他杂质，冶炼过程实际上是剔除其他杂质．现在有一块$1000$千克的铁矿，含有$5.95%$的杂质，经过冶炼，变成了含铁量为$99%$的铁块．那么，冶炼过程剔除了_______千克杂质．（铁的损耗忽略不计）
【答案】$50$
【解析】法1：不变量，原来含有$1000\times (1-5.95 \%)=940.5$千克纯铁，后来重量为$940.5\div 99 \%=950$千克，剔除了$1000-950=50$千克杂质．
法2：十字交叉，$(99 \%- 94.05 \%):(94.05 \%-0 \%)=1:19$，$1000\times \dfrac{1}{20}=50$．
- 八人进行单循环赛（即每两人之间比赛一场），每场比赛胜方得$2$分，负方得$0$分，平局则各得$1$分．比赛完毕后，发现：
① 八人的得分互不相同；
② 第二名的得分是第五、六、七、八名4人得分的总和；
③ 第一名没有战胜第四名．
根据以上信息，第三名得了________分．
【答案】$10$
【解析】共$C_{8}^{2}=28$场比赛，总分$28\times 2=56$分，后四名比$C_{4}^{2}=6$场比赛，至少$6\times 2=12$分，因此第$2$名至少$12$分，而第$1$名至多$6$胜$1$平，$13$分，每人得分互不相同，故第$1$名$13$分，第$2$名$12$分，后$4$名共12分，且他们全部输给了前$4$名，第$3$和第$4$共$56-13-12-12=19$分，第$4$名至少$4$胜$1$平，$9$分，故第$3$名$10$分．
- 我们把具有这种特性的四位数称为“居中四位数”：将这个四位数的四个数字任意排列顺序，把组成的所有四位数（至少$2$个）从小到大排成一排，原四位数正好处于正中间位置．例如，$2021$就是一个“居中四位数”．那么，包含$2021$在内的所有“居中四位数”一共有________个．
【答案】$90$
【解析】四个数字组成的所有四位数有奇数个且至少为$3$个的时候一定存在居中四位数．$\overline{a000}$，$1$个；$\overline{aa00}$，$3$个；$\overline{ab00}$，$6$个；$\overline{aaa0}$，$3$个；$\overline{aab0}$，$9$个；$\overline{abc0}$，$18$个；$\overline{aaaa}$，$1$个；$\overline{aaab}$，$4$个；$\overline{aabb}$，$6$个；$\overline{aabc}$，$12$个；$\overline{abcd}$，$24$个．
满足条件的有$\overline{aa00}$、$\overline{aaa0}$、$\overline{aab0}$，因此共$C_{9}^{1}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}\times 2=90$个．
- 右图是一个由$20$个大小相等的等腰直角三角形拼成的图案．图中一共可以数出________个梯形．
【答案】$64$
【解析】水平和竖直有$18\times 2=36$个，斜的有$14\times 2=28$个，共$36+28=64$个．
三、填空题（每小题12分，共48分）
- 如图，在梯形$ABCD$中，$AD$与$BC$平行，三角形$ACE$和三角形$BDE$的面积都为$120$，三角形$BFG$面积为$60$，那么梯形$ABCD$的面积为________．
【答案】$540$
【解析】因为$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle BDE}$，所以$EF// BC$，那么
$$S_{\triangle AFB}=S_{\triangle DFC}=S_{\triangle ACE}=120$$
$$S_{\triangle EGC}=S_{\triangle BFG}=60$$
所以$AF:FG=120:60=2:1$，$AG:GC=60:60=1:1$，故
$$AF:FC=2:(1+3)=1:2$$
所以梯形的面积为$60+120+240+120=540$．
小周老师写了一个两位质数，并将这个质数个位数字告诉了甲，十位数字告诉了乙，十位数字与个位数字之和告诉了丙，十位数字与个位数字之差（大减小）告诉了丁．
丙说：在我说话之前，甲一定认为乙不知道这个质数是多少．
丙说完之后，乙说：在我说话之前，甲一定认为丁不知道这个质数是多少．
那么，这个质数是________．（甲、乙、丙、丁四位同学诚实且聪明）
【答案】$23$
【解析】所有的两位质数：$11$、$31$、$41$、$61$、$71$；$13$、$23$、$43$、$53$、$73$、$83$；$17$、$37$、$47$、$67$、$97$；$19$、$29$、$59$、$79$、$89$．
丙：丙说话之前甲只知道个位，就知道乙猜不出，所以个位不可能是$7$，丙手上拿的是数字和，通过数字和来确定这个信息的，因此数字和不可能是$8$、$10$、$11$、$13$、$16$，将数字和为这些的都排除，只剩下$9$个数：$11$、$13$、$23$、$31$、$41$、$43$、$59$、$61$、$89$．
乙：乙说话之前，丁拿的是数字差，甲一定猜不出，所以排除$11$、$41$、$59$、$61$，那么个位不可能是$1$和$9$，继续排除$31$、$59$、$89$．剩下$3$个数：$13$、$23$、$43$
乙通过十位确定甲一定知道丁猜不出，那么十位不可能是$1$和$4$，故这个质数一定是$23$．
- 在河流上游$A$地有一艘巨轮，旁边有一艘巡逻小艇，小艇不停的从巨轮船头划到船尾再从船尾划到船头（小艇不计长度），与此同时在下游$B$地有一艘小船（小船不计长度），巨轮和小船同时出发相向而行，出发时小艇与巨轮的船头都恰好在$A$地．当小艇第$1$次回到巨轮船头时，恰与小船相遇；当小艇第$7$次回到巨轮船头时，巨轮船头正好抵达$B$地．如果巨轮出发时水速变为原来的$2$倍，那么当小艇第$6$次回到巨轮船头时，巨轮船头正好抵达$B$地．那么，静水中小船的速度是水流原来速度的________倍．
【答案】$37$
【解析】流水行船中的相遇追及与水速无关，轮船和小船相遇花了$1$份时间，轮船从$A$走到$B$花了$7$份时间，水速增加为原来的$2$倍后，轮船从$A$走到$B$花了$6$份时间，因此
$$7\times (V_{轮}+V_{水})=6\times (V_{轮}+2V_{水})=1\times (V_{轮}+V_{船})$$
易得$V_{轮}=5V_{水}$，所以$V_{船}=37V_{水}$．
请叫我皮老师
