试卷详解
空白试卷
一、填空题(每小题8分,共32分)
- 定义新运算“$ \otimes $”:$a \otimes b = \dfrac{\left( {a + 1} \right)\left( {b - 1} \right)}{a \times b} - 1$,那么算式$( 43 \otimes 47)\times 43 \times 47$ 的计算结果是________.
【答案】$3$
【解析】原式$=[\dfrac{(43+1)\times (47-1)}{43\times 47}-1]\times 43\times 47=44\times 46-43\times 47=45^2-1-(45^2-2^2)=4-1=3$.
- 如图,一道除法竖式中已经填出了“$2021$”,那么正确算式的除数是________.
![1](https://qiufuxing.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/20201205220937.png)
【答案】$109$
【解析】$21146\div 109=194$.
- 指纹识别在日常生活中有非常广泛的应用,使用指纹识别之前需要先录入指纹.迎春电子厂研发了一套指纹录入系统,首次按压能录入$\dfrac{4}{5}$的图案,之后每次按压能录入余下图案的如$\dfrac{1}{2}$果指纹图案的完整度不小于$99\%$则算是录入成功.那么,成功录入一个指纹至少需要按压_______次.
【答案】$6$
【解析】首次录入$\dfrac{4}{5}=80 \%$,还剩下$20 \%$,接下来每次剩下上次的一半,当剩下不超过$1\%$时录入成功
$$20\times (1-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{5}{4}>1$$
$$20\times (1-\dfrac{1}{2})^5=\dfrac{5}{8} < 1$$
故至少需要$6$次.
如图,某款“风车”玩具由边长为$20$厘米的正方形和四个直角边为$10$厘米的等腰直角三角形组成.图中四块空白部分为扇形,则阴影部分面积是________平方厘米.
![](https://qiufuxing.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/20201205221141.png)
【答案】$286$
【解析】$S_{阴影}=10^2\times 2+20^2-\pi \times 10^2=286$.
二、填空题(每小题10分,共40分)
- 已知刚开采出来的铁矿主要含有的是铁和其他杂质,冶炼过程实际上是剔除其他杂质.现在有一块$1000$千克的铁矿,含有$5.95%$的杂质,经过冶炼,变成了含铁量为$99%$的铁块.那么,冶炼过程剔除了_______千克杂质.(铁的损耗忽略不计)
【答案】$50$
【解析】法1:不变量,原来含有$1000\times (1-5.95 \%)=940.5$千克纯铁,后来重量为$940.5\div 99 \%=950$千克,剔除了$1000-950=50$千克杂质.
法2:十字交叉,$(99 \%- 94.05 \%):(94.05 \%-0 \%)=1:19$,$1000\times \dfrac{1}{20}=50$.
- 八人进行单循环赛(即每两人之间比赛一场),每场比赛胜方得$2$分,负方得$0$分,平局则各得$1$分.比赛完毕后,发现:
① 八人的得分互不相同;
② 第二名的得分是第五、六、七、八名4人得分的总和;
③ 第一名没有战胜第四名.
根据以上信息,第三名得了________分.
【答案】$10$
【解析】共$C_{8}^{2}=28$场比赛,总分$28\times 2=56$分,后四名比$C_{4}^{2}=6$场比赛,至少$6\times 2=12$分,因此第$2$名至少$12$分,而第$1$名至多$6$胜$1$平,$13$分,每人得分互不相同,故第$1$名$13$分,第$2$名$12$分,后$4$名共12分,且他们全部输给了前$4$名,第$3$和第$4$共$56-13-12-12=19$分,第$4$名至少$4$胜$1$平,$9$分,故第$3$名$10$分.
- 我们把具有这种特性的四位数称为“居中四位数”:将这个四位数的四个数字任意排列顺序,把组成的所有四位数(至少$2$个)从小到大排成一排,原四位数正好处于正中间位置.例如,$2021$就是一个“居中四位数”.那么,包含$2021$在内的所有“居中四位数”一共有________个.
【答案】$90$
【解析】四个数字组成的所有四位数有奇数个且至少为$3$个的时候一定存在居中四位数.$\overline{a000}$,$1$个;$\overline{aa00}$,$3$个;$\overline{ab00}$,$6$个;$\overline{aaa0}$,$3$个;$\overline{aab0}$,$9$个;$\overline{abc0}$,$18$个;$\overline{aaaa}$,$1$个;$\overline{aaab}$,$4$个;$\overline{aabb}$,$6$个;$\overline{aabc}$,$12$个;$\overline{abcd}$,$24$个.
满足条件的有$\overline{aa00}$、$\overline{aaa0}$、$\overline{aab0}$,因此共$C_{9}^{1}+C_{9}^{1}+C_{9}^{2}\times 2=90$个.
- 右图是一个由$20$个大小相等的等腰直角三角形拼成的图案.图中一共可以数出________个梯形.
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【答案】$64$
【解析】水平和竖直有$18\times 2=36$个,斜的有$14\times 2=28$个,共$36+28=64$个.
三、填空题(每小题12分,共48分)
- 如图,在梯形$ABCD$中,$AD$与$BC$平行,三角形$ACE$和三角形$BDE$的面积都为$120$,三角形$BFG$面积为$60$,那么梯形$ABCD$的面积为________.
![](https://qiufuxing.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/20201205221454.png)
【答案】$540$
【解析】因为$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle BDE}$,所以$EF// BC$,那么
$$S_{\triangle AFB}=S_{\triangle DFC}=S_{\triangle ACE}=120$$
$$S_{\triangle EGC}=S_{\triangle BFG}=60$$
所以$AF:FG=120:60=2:1$,$AG:GC=60:60=1:1$,故
$$AF:FC=2:(1+3)=1:2$$
所以梯形的面积为$60+120+240+120=540$.
小周老师写了一个两位质数,并将这个质数个位数字告诉了甲,十位数字告诉了乙,十位数字与个位数字之和告诉了丙,十位数字与个位数字之差(大减小)告诉了丁.
丙说:在我说话之前,甲一定认为乙不知道这个质数是多少.
丙说完之后,乙说:在我说话之前,甲一定认为丁不知道这个质数是多少.
那么,这个质数是________.(甲、乙、丙、丁四位同学诚实且聪明)
【答案】$23$
【解析】所有的两位质数:$11$、$31$、$41$、$61$、$71$;$13$、$23$、$43$、$53$、$73$、$83$;$17$、$37$、$47$、$67$、$97$;$19$、$29$、$59$、$79$、$89$.
丙:丙说话之前甲只知道个位,就知道乙猜不出,所以个位不可能是$7$,丙手上拿的是数字和,通过数字和来确定这个信息的,因此数字和不可能是$8$、$10$、$11$、$13$、$16$,将数字和为这些的都排除,只剩下$9$个数:$11$、$13$、$23$、$31$、$41$、$43$、$59$、$61$、$89$.
乙:乙说话之前,丁拿的是数字差,甲一定猜不出,所以排除$11$、$41$、$59$、$61$,那么个位不可能是$1$和$9$,继续排除$31$、$59$、$89$.剩下$3$个数:$13$、$23$、$43$
乙通过十位确定甲一定知道丁猜不出,那么十位不可能是$1$和$4$,故这个质数一定是$23$.
- 在河流上游$A$地有一艘巨轮,旁边有一艘巡逻小艇,小艇不停的从巨轮船头划到船尾再从船尾划到船头(小艇不计长度),与此同时在下游$B$地有一艘小船(小船不计长度),巨轮和小船同时出发相向而行,出发时小艇与巨轮的船头都恰好在$A$地.当小艇第$1$次回到巨轮船头时,恰与小船相遇;当小艇第$7$次回到巨轮船头时,巨轮船头正好抵达$B$地.如果巨轮出发时水速变为原来的$2$倍,那么当小艇第$6$次回到巨轮船头时,巨轮船头正好抵达$B$地.那么,静水中小船的速度是水流原来速度的________倍.
【答案】$37$
【解析】流水行船中的相遇追及与水速无关,轮船和小船相遇花了$1$份时间,轮船从$A$走到$B$花了$7$份时间,水速增加为原来的$2$倍后,轮船从$A$走到$B$花了$6$份时间,因此
$$7\times (V_{轮}+V_{水})=6\times (V_{轮}+2V_{水})=1\times (V_{轮}+V_{船})$$
易得$V_{轮}=5V_{水}$,所以$V_{船}=37V_{水}$.