试卷详解
空白试卷
一、填空题（每小题8分，共32分）
- 算式$(2021+20-21)\div 20\times 21$的计算结果是_________.
【答案】$2121$
【解析】原式$=2020\div 20 \times 21 =101\times 21=2121$．
- 小明、小华和小亮各有一些零用钱．小明与小华的零用钱共有$20$元，小华和小亮的零用钱共有$25$元，且小亮的零用钱是小明的$2$倍．那么小华的零用钱有_________元．
【答案】$15$
【解析】小亮比小明多$5$元，而小亮是小明的$2$倍，那么小亮有$5\div (2-1)\times 2=10$元，小华有$25-10=15$元．
- 下图是一个漂亮的中国传统油纸伞图案，在这个图案中，包含阴影的三角形共有_________个．
【答案】$8$
【解析】$4+3+2+1-2=8$个．
- 一个边长为整数的正方形，它的周长与面积的数值之和为$2021$，那么这个正方形的边长是_________．
【答案】$43$
【解析】边长$\times $边长$+4\times $边长$=2021$，$45\times 45=2025$，验证$43\times 43+4\times 43=2021$，故正方形的边长为$43$．
二、填空题（每小题10分，共40分）
右图为一个地区的军事布局图，现在要在格子中布置一些大炮，要求每个格子中最多布置一门大炮，任意两个布置大炮的格子不能有边相邻，那么最多可以布置_________门大炮．
【答案】$8$
【解析】共$16$个，$2$个一组最多放$1$个，因此最多$16\div 2=8$个，构造如下．
$$\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \bigstar & & \bigstar & & \bigstar \\ \hline & \bigstar & & \bigstar & \\ \hline & & \bigstar & & \\ \hline & \bigstar & & \bigstar & \\ \hline \end{array}$$
- 熊大和熊二为了阻止光头强偷摘香蕉，至少会有一个在森林里巡逻．如果熊大单独巡逻，光头强$1$分钟能摘$8$个香蕉；如果熊二单独巡逻，光头强$1$分钟能摘$10$个香蕉；如果熊大和熊二一起巡逻，光头强$1$分钟只能摘$4$个香蕉．现在光头强在$12$分钟内共摘了$88$个香蕉．已知在光头强偷摘香蕉期间，熊大巡逻的时间是熊二巡逻时间的$2$倍，那么熊大共巡逻了_________分钟．
【答案】$10$
【解析】若两人都是单独巡逻，那么熊大$8$分钟，熊二$4$分钟，光头强摘了$8\times 8+10\times 4=104$个，接下来调整，熊二增加$1$分钟，熊大增加$2$分钟，此时光头强摘了$7\times 8 +2\times 10 +3\times 4=88$个，故熊大共巡逻了$8+2=10$分钟．
- 如图，$10$个完全相同的正五边形边与边拼接在一起，可以在中间围出一个正十边形．$3$个完全相同的正$n$边形边与边拼接在一起，可以在中间围出一个正三角形，那么$n$的值是_________．
【答案】$12$
【解析】正$n$边形的内角是$(360^{\circ}-60^{\circ})\div 2=150^{\circ}$，因此$n=360^{\circ}\div (180^{\circ}-150^{\circ})=12$．
- 对$69896$这个五位数进行若干次操作，每次操作可将相邻的两位数旋转$180$度（如$98$进行一次操作后变为$86$， $96$进行一次操作后还是$96$）．那么经过有限次操作后可得到的最大的五位数是_________．
【答案】$89696$
【解析】最大值：$89696$，构造如下：$69896\to 68696 \to 89696$．
三、填空题（每小题12分，共48分）
- 石老师将写有$1$、$2$、$3$、$4$的卡片各一张，分别发给甲、乙、丙、丁．然后发生了如下对话：
甲对乙说：你卡片上的数是$4$；
乙对丙说：你卡片上的数是$3$；
丙对丁说：你卡片上的数是$2$；
丁对甲说：你卡片上的数是$1$．
石老师发现：持有卡片数字奇偶性相同的人之间说的都是正确的，持有卡片数字奇偶性不同的人之间说的都是错误的，并且甲、丁卡片上的数字之和小于乙、丙卡片上的数字之和．
那么甲、乙、丙、丁卡片上数字依次连接组成的四位数是_________．
【答案】$2341$
【解析】奇偶性相同的人是正确的那么$2$真$2$假或者$4$个都是假话，不管甲丙真话或者乙丁真话会导致$4$个人都是偶数或者$4$个人都是奇数，不可能，所以这$4$句都是假的，若甲$=3$，那么丙$=1$，乙$=2$，丁$=4$，符合对话，但$3+4>1+2$，所以甲不是$3$，则甲丙都是偶数，而乙丁都是奇数，经验证只能甲$=2$，丁$=1$，乙$=3$，丙$=4$．
- 如图，$ABCD$是一张正方形纸片，将纸片沿着$CE$对折，点$D$被折到点$G$的位置，再沿着$CF$对折纸片，将点$B$折到点$G$的位置．如果$DE=18$，$BF=6$，那么$\triangle AEF$的面积是_________．
【答案】$108$
【解析】易得$S_{\triangle CEF}=(S_{ABCD}-18\times 6)\div 2$，故$2S_{\triangle CEF}=S_{ABCD}-18\times 6$，因此$S_{\triangle AEF}=S_{ABCD}-2S_{\triangle CEF}=18\times 6=108$．
- 小聪玩一个三国集卡游戏，有曹操，刘备，孙权三种武将卡，每种武将卡都有一星、二星、三星这三个星级，三张同名称的低星级卡片可以合成一张同名称的高一星级卡片，一张高星级卡片可以分解成另两种低一星级的卡片各一张（比如：三个一星曹操可以合成一个二星曹操，一个三星曹操可以分解为一个二星孙权和一个二星刘备）．已知小聪可以购买的卡片只有一星卡片，武将随机．那么小聪至少一次性购买_________张卡片，才能保证自己可以通过合成或者分解获得互不相同的三张三星卡片．
【答案】$38$
【解析】每合成分解一次相当于减少当前卡片$3$张，另外$2$种卡片各增加$1$张，整体相当于减少$1$张，如果某种一级卡片有$0$张，那么最多需要经过$9$次分解，假设三种初始卡片分别有$a$、$b$、$c$张，那么$a-9\times 3\geq 9$，$b+9\geq 9$，$c+9\geq 9$，最倒霉的情况是$a=8+3\times 9=35$，$b=0$，$c=2$，所以至少需要$35+0+2+1=38$张，下面证明$38$张无论如何都能成立，$38$张分解$8$次变成$30$张，保证有一堆是$8$张，如果是$(14,8,8)$、$(13,9,8)$、$(12,10,8)$将最多的合成分解一次即可，如果是$(11,11,8)$，$11$先操作一次变成$(8,12,9)$，$12$再操作一次即可．
请叫我皮老师
