如图,$\triangle ABC$中,$AB=7$,$\angle B=22.5^{\circ}$,$\angle C=45^{\circ}$,求$\triangle ABC$的面积。
如图,将$\triangle ABC$沿着$BC$对称得到$\triangle BWC$,过$C$作$CP$平行$AW$,且$CP=AC$,连接$AW$、$WC$、$WP$
易得$$\angle ABW=45^{\circ},\angle ACW=90^{\circ},\angle BCP=90^{\circ}$$
那么$$AC=WC=CP$$
又$$\angle ACP=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$$
所以$$\angle PAC=\angle APC=22.5^{\circ}$$
那么$$\angle BAP=180^{\circ}-22.5^{\circ}-45^{\circ}-22.5^{\circ}=90^{\circ}$$
$$\angle APB=\angle WPC-22.5^{\circ}=45^{\circ}$$
所以$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}S_{ABWC}=\dfrac{1}{2}S_{\triangle ABP}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times 7^2=\dfrac{49}{4}$
如图,构造等腰三角形$\triangle ABW$,使得$AW=BW$,则$\angle AWB=22.5^{\circ}\times 2=45^{\circ}$
那么$\triangle AWC$是等腰直角三角形,过$A$作$AP$垂直$BC$于$P$,设$AP=x$,易得
$$WP=PC=AP=x, BW = AW =\sqrt{2}x$$
由勾股定理可得
$$AP^2+BP^2=AB^2$$
所以$$x^2 + [(\sqrt{2}+1)x]^2=7^2$$
那么$$x^2 = \dfrac{49}{4+2\sqrt{2}}$$
因此$$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}BC\times AP=\dfrac{(\sqrt{2}+2)}{2}x^2=\dfrac{49}{4}$$