问题62 求长方形的面积

如图，四边形$ABCD$是长方形，$\triangle BCG$是直角三角形，且$\angle GBC=30^{\circ}$，$\angle EBG=\angle BEF=90^{\circ}$，已知$BG=6$，$BF=4GC$．

(1)求线段$BE$的长度．

(2)求长方形$ABCD$的面积．

解析

(1)因为$\angle GBC=30^{\circ}$，$\angle EBG=90^{\circ}$

所以$$\angle EBC=60^{\circ}，\angle EBF=30^{\circ}$$

故$$BC=2GC，BF=2EF$$

而$$BF=4GC$$

所以$EF=2GC$，那么$EF=BC$，$\triangle BCG$和$\triangle EFA$都是$30$度的直角三角形，所以这两个三角形一样，因此

$$AE=BG=6$$

从而$$BE=2AE=2\times 6=12$$

(2)如图，连接$EC$、$EG$，因为$CG// BE$，所以
$$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEG}=\dfrac{1}{2}BE\times BG=\dfrac{1}{2}\times 12 \times 6 = 36$$

因此$$S_{ABCD}=2S_{\triangle BEC}=2\times 36=72$$