如图,四边形$ABCD$是长方形,$\triangle BCG$是直角三角形,且$\angle GBC=30^{\circ}$,$\angle EBG=\angle BEF=90^{\circ}$,已知$BG=6$,$BF=4GC$.
(1)求线段$BE$的长度.
(2)求长方形$ABCD$的面积.
(1)因为$\angle GBC=30^{\circ}$,$\angle EBG=90^{\circ}$
所以$$\angle EBC=60^{\circ},\angle EBF=30^{\circ}$$
故$$BC=2GC,BF=2EF$$
而$$BF=4GC$$
所以$EF=2GC$,那么$EF=BC$,$\triangle BCG$和$\triangle EFA$都是$30$度的直角三角形,所以这两个三角形一样,因此
$$AE=BG=6$$
从而$$BE=2AE=2\times 6=12$$
(2)如图,连接$EC$、$EG$,因为$CG// BE$,所以
$$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEG}=\dfrac{1}{2}BE\times BG=\dfrac{1}{2}\times 12 \times 6 = 36$$
因此$$S_{ABCD}=2S_{\triangle BEC}=2\times 36=72$$