问题42 已知正方形面积求阴影

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如图，四边形$ABCD$是正方形，点$E$和$F$分别是$BC$和$CD$边上的中点，$\angle AFG=\angle AEG=90^{\circ}$，已知正方形$ABCD$的面积是$1$，求阴影部分的面积．

解析

如图，延长$FG$交$BC$于$K$，延长$EG$交$CD$于$J$，连接$CG$、$EF$

因为

$$AD:DF=2:1，\angle AFG=90^{\circ}$$

易得

$$FC:CK=2:1$$

所以$KC=KE$，同理$FJ=JC$

由燕尾模型易得

$$S_{\triangle FCG}=S_{\triangle ECG}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle CEF}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{24}$$

所以

$$S_{阴影}=1-\dfrac{1}{4}\times 2-\dfrac{1}{24}\times 2=\dfrac{5}{12}$$