如图,正六边形$ABCDEF$的面积为$1$,$G$是$AB$上一点,$H$是$EF$上一点,且$AG:GB=3:4$,$FH:HE=2:5$,过$G$作$AB$边上的垂线,过$H$作$EF$边上的垂线,两条线交于点$O$,连接$OA$、$OC$、$OD$、$OF$.
(1)求两块阴影部分的面积之和;
(2)求三角形$OCD$的面积.
(1)如图,连接$AC$、$DF$,根据一半模型可得阴影部分的面积为$1\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$.
(2)如图,不妨设正六边形边长为$7$份,后面省略份,由于$\triangle AGW$、$\triangle FHX$、$\triangle BGZ$、$\triangle YHE$都是$60^{\circ}$的直角三角形,所以$AG=3$,$AW=6$,$FH=2$,$FX=4$,$BG=4$,$BZ=8$,$EH=5$,$EY=10$,从而
$$YZ=8+10-14=4$$
$$WX=6+7+4=17$$
故沙漏$WXOYZ$的相似比为$17:4$,所以
$$S_{\triangle AFO}=1\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{17}{17+4}=\dfrac{17}{126}$$
那么$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{17}{126}=\dfrac{25}{126}$$
如图,构造沙漏$PQMN$,不妨设$AG=3$,$FH=2$,则正六边形的边长为$7$,易得
$$AP=2AG=6,FQ=2FH=4$$
所以
$$PQ=6+7+4=17$$
同理
$$MY=2HY=2\times (5+7)=24$$
$$XN=2XG=2\times (4+7)=22$$
所以$MN=24+22-7\times 3=25$,所以$PQ:MN=17:25$,那么
$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{42}=\dfrac{25}{126}$$
如图,构造大等边三角形$XYZ$,过$O$作$MN$平行于$YZ$,易得
$$MN=2(MG+NH)$$
所以
$$MG+MN+NH=\dfrac{3}{2}MN$$
即$GM+MN+NH$是$\triangle XMN$周长的一半,不妨设$AG=3$,$FH=2$,则正六边形的边长为$7$,所以
$$MN=(XG+XH)\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{38}{3}$$
所以$\triangle XMN$的高占$\triangle XYZ$高的$\dfrac{38}{3}\div 21=\dfrac{38}{63}$,那么$\triangle OCD$的高占整体的$1-\dfrac{38}{63}=\dfrac{25}{63}$,$\triangle OCD$的底占$YZ$的$\dfrac{1}{3}$,所以
$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{63}\times S_{\triangle XYZ}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{63}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{25}{126}$$
由上个方法易得$MB=\dfrac{38}{63}YZ$,那么$\triangle OAF$的高占整体的
$$\dfrac{38}{63}\times (1-\dfrac{21}{38})=\dfrac{17}{63}$$
$\triangle OAF$的高占整体的$1-\dfrac{38}{63}=\dfrac{25}{63}$,所以$S_{\triangle AOF}:S_{\triangle COD}=17:25$,故
$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{42}=\dfrac{25}{126}$$
如图,点$O$从点$D$运动到$F$的过程中,$\triangle OCD$的面积从$0$增加到$\dfrac{1}{3}$,拆解为从$D$到$B$到$F$,两次面积分别增加$\dfrac{1}{6}$、$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}$,又因为
$$HJ:HF=17:4,BG:GI=8:13$$
因此
$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{17}{21}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{8}{21}=\dfrac{25}{126}$$
如图,易得
$$S_{\triangle OAB}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{8}{21}=\dfrac{8}{63}$$
$$S_{\triangle OEF}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11}{21}=\dfrac{11}{63}$$
所以$$S_{\triangle OCD}=\dfrac{1}{2}- \dfrac{8}{63}-\dfrac{11}{63}=\dfrac{25}{126}$$