如图，三角形$ABC$的面积为$80cm^2$，三角形$ADF$的面积为$10cm^2$，三角形$CFE$的面积为$35cm^2$， $FC$的长度为$AF$长度的$3$倍．$BF$和$DE$交于点$G$，求$BG:GF$．

如图，正方形内有$4$个大小一样的半圆和$2$个大小一样的扇形，半圆的半径是$2$，扇形的半径是$4$，求阴影部分的面积．

如图，三角形$ABC$是直角三角形，$\angle B=90^{\circ}$，$AB=BW=WC=3$，且$\angle AWD=90^{\circ}$，求阴影部分的面积．

如图，$P$是正六边形$ABCDEF$内任意一点，四边形$APFL$、$FPEK$、$EPDJ$、$DPCI$、$CPBH$、$BPAG$都是平行四边形，已知阴影部分的面积是$2021$，请问大六边形$GHIJKL$的面积是多少？

如图，各边都是三等分点，请证明每个区域都是整个图形的$\dfrac{1}{10}$

如果两个质数的差恰好是$2$，称这两个质数为一对孪生质数，在数论研究中，华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．今天是$2020$年的最后一天，明天是$2021$年的第一天，$20201231$和$20210101$都是质数，现在只用月和日来组成一个多位数，比如$1$月$1$日是$101$，$11$月$2$日是$1102$，如果相邻的两天代表的数都是质数，我们称这样相邻的两天为“双子质数”天，请问一共有多少对“双子质数”天？

如图，四边形$ABCD$是正方形，点$E$和$F$分别是$BC$和$CD$边上的中点，$\angle AFG=\angle AEG=90^{\circ}$，已知正方形$ABCD$的面积是$1$，求阴影部分的面积．

对于大于$1$的自然数$n$，设$(n)$表示$n$的所有不同质因数的乘积，比如$(3)=3$，$(12)=2\times 3=6$，规定$(1)=1$．(1)求$(216)$、$(8)+(25)$、$(15)\times (18)$．(2)若$(4n)=(n)$，那么最小的$3$个$n$是多少$？$(3)什么时候满足$(a\times b)=(a)\times (b)$？(4)什么时候满足$(a\times b)<(a)\times (b)$？

如图是一个半圆和长方形，已知长方形$ABCD$的面积是$32$，$\angle ABE=30^{\circ}$，求线段$BE$的长．

如图，一个正方形内部画了$4$条圆弧，外部画了$4$个正三角形，已知正方形的边长为$6$，求阴影部分的面积．

如图，正六边形内$P$点分别与顶点$A$、$B$、$C$、$D$相连，$S_{\triangle PAD}=10$，$S_{\triangle PBC}=12$，那么正六边形的面积是多少？

如图，正六边形内$P$点分别与顶点$A$、$B$、$C$、$D$相连，得到的三个三角形面积依次为$ 9$，$12$，$10$，那么正六边形的面积是多少？

如图是由$13$个正三角形拼成的一个六边形，将每个正三角形染成黑色或白色，共有多少种不同染色方式？（旋转、翻转重合算同一种）

在青青草原运动会开幕式上，有$2020$个气球从左到右排成一排，编号依次为$1$，$2$，$3$，$\cdots \cdots$，$2020$．第一次放飞编号是完全平方数的气球，然后剩余的气球从左到右从$1$开始重新编号．第二次又放飞编号是完全平方数的气球，剩余的气球又重新编号$\cdots \cdots$那么，最后一个放飞的气球最初的编号是多少？

如图，直角三角形内有$3$个正方形，小正方形的边长为$1$，中正方形的边长为$2$，求大正方形的面积．

如图，三个等边三角形并排放在一条线上，已知每个等边三角形的面积为$3$，求阴影部分的面积．