在方格中填入数字，要求：①只能填入$1$或$2$；②每行每列都至少填入一个数；③每一行或每一列的数字均为$1$、$2$、$1$、$2$、$1$、$\cdots$($1$和$2$交替出现，且$2$不能出现在首尾)，如果放入$4\times 4$的方格中有多少种方法？如果放入$5\times 5$的方格中有多少种方法？

如图，$\triangle ABC$、$\triangle CDE$、$\triangle CFG$都是等边三角形，$AF:FD:DB=1:2:2$，已知$\triangle ABC$的面积是$125$，分别求图中两个阴影部分的面积．

如图是由$13$个正三角形拼成的一个六边形，将每个正三角形染成黑色或白色，共有多少种不同染色方式？（旋转、翻转重合算同一种）

如图，正八边形内部有两个正方形，已知正八边形的边长为$10$厘米，求阴影部分的面积．