角平分线模型以及常见辅助线

如图，四边形$ABCD$中，$\angle B= \angle ACD=90^{\circ}$，且$AC=2CD$，已知$AB=3$，$BC=8$，求四边形$ABCD$的面积

如图是一个正十二边形，已知相对的两边的距离是$15$，求六边形$ABCDEF$的周长

如图，一个大平行四边形被分成了9个小平行四边形，已知其中三个平行四边形的面积是$24$、$54$、$72$，求大平行四边形的面积

如图是一张怪物史莱克的脸，$ABCDE$、$JKLIF$、$GHMNO$是正五边形，$FGHI$是正方形，且$AB//FG$，已知$\triangle EKL$、$\triangle CMN$、$\triangle BON$的面积分别是$2$、$3$、$4$，求$\triangle AKJ$的面积。

如图，一个$90^{\circ}$的扇形中，$\angle O=90^{\circ}$，$C$是半径$OB$上一点，$D$是圆弧$AB$上一点，$\angle ADC=90^{\circ}$，已知$CD=7$，$AD=24$，求$OC$的长度。

已知$P$为$\triangle ABC$内一点，则$S_{\triangle PBC}\cdot \overrightarrow{PA}+S_{\triangle PCA}\cdot \overrightarrow{PB}+S_{\triangle PAB}\cdot \overrightarrow{PC}=0$

如图，一个长方形内有两个圆，已知长方形的长和宽分别是$20$和$10$，求阴影部分的面积。

如图，一个正方形内有一个圆和两段圆弧，已知正方形的边长是$10$，求阴影部分的面积。

如图，一个正方形内有两段圆弧，已知正方形的边长是10，求阴影部分的面积。

如图，一个正方形内部画了4条圆弧，已知正方形的边长是10，求阴影部分的面积。

如图，$\triangle ABC$中，$AB=7$，$\angle B=22.5^{\circ}$，$\angle C=45^{\circ}$，求$\triangle ABC$的面积。

如图所示的图形由两个正方形、一个正三角形、一个正六边形组合而成，已知正三角形的边长是$36$，求阴影部分的面积。

如图，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，$\angle BAC=90^{\circ}$，$M$是$BC$的中点，且$AB=AC=DF=FM=GM=GE$，$\angle FDE=\angle GED=9^{\circ}$，求$\angle FMG$。

如图，四边形$ABCD$、$DEFG$、$GHIJ$都是正方形，$BG$、$EG$、$DF$、$DI$分别交于点$K$、$L$、$M$、$N$，已知$S_{\triangle DLK}=25$，$S_{BEML}=81$，$S_{MNKL}=36$，$S_{MFIN}=75$。$(1)$三角形$GKN$的面积是多少？$(2)$正方形$DEFG$的面积是多少？

勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于第三边的平方

毕克定理指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为$S=N+\dfrac{L}{2}-1$，其中$N$表示多边形内部的点数，$L$表示多边形落在格点边界上的点数，$S$表示多格点边形的面积。

如图是由$5$个半圆组成的一条“小鲸鱼”，已知整个图形的面积是$30$，$AB=OB$，$AO=OC$，求阴影部分的面积．

如图，四边形$ABCD$是长方形，$\triangle BCG$是直角三角形，且$\angle GBC=30^{\circ}$，$\angle EBG=\angle BEF=90^{\circ}$，已知$BG=6$，$BF=4GC$．(1)求线段$BE$的长度．(2)求长方形$ABCD$的面积．

如图，四边形$ABCD$是正方形，四边形$CDGF$是长方形，$\triangle CDE$是等边三角形，已知$GD+DC+CF=10$，则长方形$ABFG$的面积是多少？