已知$P$为$\triangle ABC$内一点，则$S_{\triangle PBC}\cdot \overrightarrow{PA}+S_{\triangle PCA}\cdot \overrightarrow{PB}+S_{\triangle PAB}\cdot \overrightarrow{PC}=0$

如图，四边形$ABCD$是正方形，四边形$CDGF$是长方形，$\triangle CDE$是等边三角形，已知$GD+DC+CF=10$，则长方形$ABFG$的面积是多少？

如图，一个圆的半径为$12$，$A$、$B$、$C$、$D$是圆上的点，$O$是圆心，且$\angle AOB=\angle COD=20^{\circ}$，$\angle BOC=70^{\circ}$，求阴影部分的面积．

如图，正六边形$ABCDEF$的面积是$10$，$BG=EH$，$GI:IC=2:3$，求阴影$\triangle DIJ$的面积．

如图，四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle C=90^{\circ}$，$E$是$AD$边上一点，$F$是$CD$边上一点，且$\angle EFD=90^{\circ}$，$AB=DF=2$，$CF=3$，已知四边形$ABCD$的面积是$63$，求五边形$ABCFE$的面积．

四边形$ABCD$、$CFGE$均为正方形，$GE$的延长线与对角线$AC$交于点$O$，已知$OB=OG$，正方形$ABCD$的面积为$300$，则阴影部分的面积为多少？

如图，正六边形$ABCDEF$的边长为$2cm$，延长$DC$至$G$，$GC=1cm$，点$J$是边$DE$上的中点，连接$AJ$并延长交$CD$的延长线于点$K$，连接$FG$分别交$AK$和$BC$于点$I$和点$H$．(1)求$CH$和$DK$的长；(2)求$S_{\triangle AIF}:S_{ABCDEF}$；(3)求$S_{CDJIH}:S_{ABCDEF}$．

如图，将一个直角三角形分为三角形$ABC$和三角形$DEF$，已知$BC=AC=5cm$，$EF=3cm$，$DF=4cm$，现在将这两个三角形重叠在一起，求阴影部分的面积．

如图，三角形$ABC$的面积为$80cm^2$，三角形$ADF$的面积为$10cm^2$，三角形$CFE$的面积为$35cm^2$， $FC$的长度为$AF$长度的$3$倍．$BF$和$DE$交于点$G$，求$BG:GF$．

如图，各边都是三等分点，请证明每个区域都是整个图形的$\dfrac{1}{10}$

如图，一个正方形内部画了$4$条圆弧，外部画了$4$个正三角形，已知正方形的边长为$6$，求阴影部分的面积．

在青青草原运动会开幕式上，有$2020$个气球从左到右排成一排，编号依次为$1$，$2$，$3$，$\cdots \cdots$，$2020$．第一次放飞编号是完全平方数的气球，然后剩余的气球从左到右从$1$开始重新编号．第二次又放飞编号是完全平方数的气球，剩余的气球又重新编号$\cdots \cdots$那么，最后一个放飞的气球最初的编号是多少？

如图，一个直角梯形$ABCD$中，$AD$和$BC$平行，$AB=BC$，$\angle A=\angle B =\angle DWC=90^{\circ}$，$DW=3$，$WC=4$，求梯形$ABCD$的面积．

如图，正六边形$ABCDEF$中，$EG=2GF$，$HC=2DH$，连接$GH$，$W$是$GH$上的一点，已知图中两块阴影部分的面积相等，求$GW:WH$．

如图是一个半圆，$O$是圆心，$AC=CO=OD=DB=5$，$CE$、$OF$、$DG$、$BH$四条线段分别平行，且$\angle ACE=\angle AOF=\angle ADG=\angle ABH=45^{\circ}$，求图中红色阴影部分和黑色阴影部分的面积差．

如图，直角三角形$ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$AB=18cm$，$AC=24cm$，$BC=30cm$．$\angle ABP=CBP$，$\angle ACQ=\angle BCQ$，$PQ$和$BC$平行．过$P$作$AB$边上的垂线$PD$，过$Q$作$AC$边上的垂线$QE$．$PD=2.4cm$．(1)五边形$ADPQE$的面积是多少？(2)$PQ$的长度是多少？

在梯形$ABCD$的底边$AD$（或其延长线）上任取一点$N$，过$N$作平行于对角线$AC$，$BD$的直线，分别交边$CD$（或$CD$的延长线）、$AB$（或$AB$的延长线）于点$K$，$M$，证明$\triangle BMN$与$\triangle NKC$的面积相等．