角平分线模型

角平分线相关概念：

(1) 定义：经过角的顶点，且把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角的平分线．

(2) 性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

(3) 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．

角平分线四种常见辅助线

双垂：过角平分线上的点作双垂

1. 如图，点$C$为线段$AB$上一点，$△ACM$、$△CBN$是等边三角形．

   证明：$CF$平分$∠AFB$．

   

   【答案】证明见解析．

   • 由题意有$△CAN≌\triangle MCB\left( \text{SAS} \right)$
     过点$C$作$AN$、$BM$的垂线，垂足为$P$、$Q$．
     因为$CP$和$CQ$分别为全等三角形对应边上的高，
     则可得$CP=CQ$．
     ∴$CF$平分$∠AFB$．
     

作伞：一角一垂出等腰

2. 已知：如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=3\angle C$，$\angle 1=\angle 2$，$BE\bot AE$．求证：$AC-AB=2BE$．

   

   【答案】证明见解析．

   • 延长$BE$交$AC$于$M$，在$\triangle ABE$和$\triangle AME$中$\begin{cases}\angle 1=\angle 2 \\ AE=AE \\ \angle AEB=\angle AEm\end{cases}$ $\therefore \triangle ABE \cong \triangle AME$
     $\therefore AB=AM$、$BE=EM$
     设$\angle 1=\angle 2=\alpha$，则$\angle C=\dfrac{1}{4}(180^{\circ}-2\alpha)=45^{\circ}-\dfrac{1}{2}\alpha$
     $\therefore \angle ABC=3\angle C=135^{\circ}-\dfrac{3}{2}\alpha$
     $\therefore \angle 5 =\angle ABC-\angle 3=135^{\circ}-\dfrac{3}{2}\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=45^{\circ}-\dfrac{1}{2}\alpha$
     $\therefore \angle 5=\angle C$
     $\therefore MB=MC$
     $\therefore AC-AB=AC-AM=MC=MB=2BE$
     

截线段相等：出全等

3. 如图，$\triangle ABC$，$AD$平分$\angle BAC$，点$P$为$AD$上一点，求证：$PC-PB < AC-AB$．

   

   【答案】证明见解析．

   • 在$AC$上截取$AE=AB$，
     
     ∴$\triangle ABP$≌$\triangle AEP\left( \text{SAS} \right)$，
     $PE=BP$，
     ∴$AC-AB=CE>PC-PE=PC-PB$．

4. 如图，已知$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$，求证：$PB+PC>AB+AC$．

   

   【答案】证明见解析．

   • 作$PT\bot BA$于$T$，$PM\bot AC$于$M$，$PN\bot BC$于$N$，
     则$PM=PN=PT$，
     ∴$\angle TAP=\angle PAM$，
     延长$BA$到$S$，使$AS=AC$，
     连$PS$，则$\triangle PAS$≌$\triangle PAC$，
     ∴$PC=PS$，
     ∴$PB+PC=PB+PS>BS=BA+AS=BA+AC$，
     ∴$PB+PC>AB+AC$．
     

作平行线：出等腰

5. 如图，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于$D$，点$E$为$CD$上一点，$EF\text{//}BC$交$BD$于$F$，若$AB=EF$，求证：$AD=DE$．

   

   【答案】证明见解析．

   • 作$AP\text{//}BC$交$BD$延长线于$P$，
     则$\angle P=\angle PBC=\angle PBA$，
     ∴$PA=AB=EF$，
     ∴$\triangle DAP$≌$\triangle DEF\left( \text{AAS} \right)$，
     ∴$AD=DE$．
     

直角三角形斜边中线为斜边一半

角平分线定理

6. 如图，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，求证：$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}$.

   

   【答案】证明见解析．

   • 作$DM\bot AB$于$M$，$DN\bot AC$于$N$，则$DM=DN$①，
     $\therefore S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=AB:AC$
     $\therefore S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=BD:BC$
     $\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}$