2022秋某中学七年级拓展题3

已知$|x-1|+\dfrac{1}{3}|x+a|$的最小值为$2$，求$a$的值．

【答案】$5$或$-7$

• 设$A=|x-1|+\dfrac{1}{3}|x+a|=\dfrac{1}{3}\left(3|x-1|+|x+a|\right)$，当$x=1$时取最小值，将$x=1$代入，$0+\dfrac{1}{3}|1+a|=2$，所以$a=5$或$a=-7$

已知$|x-1|+8|x-2|+a|x-3|+2|x-4|$的最小值为$12$，求非负数$a$的取值范围．

【答案】$a\geq 7$

• 一定在零点处取到最小值
  当$x=1$时，原式$=0+8+2a+6=2a+14$
  当$x=2$时，原式$=1+0+a+4=a+5$
  当$x=3$时，原式$=2+8+2=12$
  当$x=4$时，原式$=3+16+a+0=a+19$
  因此$\begin{cases} 2a+14\geq 12 \\ a+5\geq 12 \\ a+19\geq 12 \end{cases}$
  解得$a\geq 7$

已知$|x-1|+8|x-2|+a|x-3|+2|x-4|$的最小值为$11$，求非负数$a$的值．

【答案】$6$

• 一定在零点处取到最小值
  当$x=1$时，原式$=0+8+2a+6=2a+14$
  当$x=2$时，原式$=1+0+a+4=a+5$
  当$x=3$时，原式$=2+8+2=12$
  当$x=4$时，原式$=3+16+a+0=a+19$
  因此$a+5=11$，故$a=6$

已知$|x-1|+8|x-2|+3|x-a|+2|x-4|$的最小值为$12$，求$a$的值．

【答案】$-\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{13}{3}$

• 由零点的数量可知，一定是当$x=2$时，取最小值，将$x=2$代入
  原式$=1+0+3|2-a|+4=12$，所以$|2-a|=\dfrac{7}{3}$
  解得$a=-\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{13}{3}$

已知$|x-1|+2|x-2|+3|x-a|+2|x-4|$的最小值为$12$，求$a$的值．

【答案】$-\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{17}{3}$

• 共$8$个零点，分别是$1$、$2$、$2$、$4$、$4$、$a$、$a$、$a$
  ①$a<1$时，$a$、$a$、$a$、$1$、$2$、$2$、$4$、$4$，当$1\leq x \leq 2$时取最小值，将$x=2$代入，原式$=1+0+3|2-a|+4=12$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$
  ②$1<a<2$时，$1$、$a$、$a$、$a$、$2$、$2$、$4$、$4$，当$a\leq x \leq 2$时取最小值，将$x=2$代入，不成立
  ③$2<a<4$时，$1$、$2$、$2$、$a$、$a$、$a$、$4$、$4$，当$x=a$时取最小值，将$x=a$代入，原式$=a-1+2(a-2)+2(4-a)=12$，解得$a=9$，不成立
  ④$a>4$时，$1$、$2$、$2$、$4$、$4$、$a$、$a$、$a$，当$x=4$时取最小值，将$x=4$代入，原式$=3+4+3(a-4)+0=12$，解得$a=\dfrac{17}{3}$
  综上$a=-\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{17}{3}$

设$n$个有理数$x_1$，$x_2$，$\cdots $，$x_n$满足$|x_i|<1(i=1,2,\cdots ,n)$，且$|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|=19+|x_1+x_2+\cdots +x_n|$，求$n$的最小值．

【答案】$20$．

• 由绝对值的非负性$|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|=19+|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\geq 19$
  又因为$|x_{i}|<1$，$n$个小于$1$的数凑出$19$，至少要$20$个，即$n \geq 20$，所以$n$的最小值为$20$，下面给出具体的构造
  构造：$19+|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{20}|=19$，只需$|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{20}|=0$
  令$x_1=x_2=\cdots=x_{10}=A$，$x_{11}=x_{12}=\cdots=x_{20}=-A$，重新代入
  $20A=19$，所以$A=\dfrac{19}{20}$，成立
  所以，正整数$n$的最小值为$20$．

设$n$个有理数$x_{1}$，$x_{2}$，$\cdots $，$x_{n}$满足$|x_{i}|<{}1(i=1,2,\cdots ,n)$，且$|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|=20+|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|$，求$n$的最小值．

【答案】$22$

• 设$x_1$、$x_2$、$\cdots$、$x_n$中所有非负的有理数和为$A$，$x_1$、$x_2$、$\cdots$、$x_n$中所有负的有理数和为$-B$，代入可得$A+B=20+|A-B|$
  所以$A+B-|A-B|=20$，若$A\geq B$，则$B=10$，若$A<B$，则$A=10$，即$\min A,B=10$，无论哪个是$10$，至少要$11$个小于$1$的数才能凑出$10$或$-10$，因此$n\geq 11+11=22$，$n$的最小值为$22$，下面给出具体的构造
  $20+|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{22}|=20$，只需$|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{22}|=0$
  令$x_1=x_2=\cdots=x_{11}=A$，$x_{12}=x_{13}=\cdots=x_{22}=-A$，重新代入
  $22A=20$，所以$A=\dfrac{10}{11}$，成立
  所以，正整数$n$的最小值为$22$．