问题78 一道2022北大强基数学共轭二次根式题

轭是牛拉车用的木头，同时拉一辆车的两头牛，就是「共轭」关系。把这种关系引申到数学中，只要是成对的东西，又找不着一个更合适的叫法时，就常常称它们为共轭。

比如在初中数学当中，两个成对的二次根式：$a+b\sqrt{m}$和$a-b\sqrt{m}$就称为共轭二次根式，共轭具有非常好的性质，$a+b\sqrt{m}+a-b\sqrt{m}=2a$，$(a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^2-b^2m$，2022年北大强基计划测试数学部分就考了一道共轭二次根式的问题：

1. 已知$[x]$表示不超过$x$的整数，如$[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，已知$\alpha = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，则$[\alpha^{12}]$是多少？

   【答案】$321$

   • 设$a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$，$b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$a+b=\sqrt{5}$，$ab=1$
     那么$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=5\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
     因此$a^6+b^6=(a^3+b^3)^2-2a^3b^3=20-2=18$
     从而$a^{12}+b^{12}=(a^6+b^6)^2-2a^6b^6=18^2-2=322$
     又因为$0<b<1$，所以$0<b^{12}<1$，那么$321<a^{12}<322$，因此$[\alpha^{12}]=321$

再看一道类似的问题，读者可先自行练习

2. 求${\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{6}$的整数部分．

   【答案】$39201$．

   • 设$a=3+2\sqrt{2}$，$b=3-2\sqrt{2}$，则$a+b=6$，$ab=1$
     那么${a}^{3}+{b}^{3}={\left( a+b \right)}^{3}-3ab\left( a+b \right)={6}^{3}-18=198$，
     因此${a}^{6}+{b}^{6}={\left( {a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{2}-2{a}^{3}{b}^{3}={198}^{2}-2=39202$，
     又因为$0<b<1$，所以$0<b^{6}<1$，那么$39201<a^{6}<39202$
     则${\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{6}$的整数部分为$39201$．