2022秋某中学七年级拓展题2

计算：$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{99}=\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$\dfrac{5}{11}$．

• 原式$=\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}+\dfrac{1}{7\times 9}+\dfrac{1}{9\times 11}$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{3-1}{1\times 3}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{5-3}{3\times 5}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{7-5}{5\times 7}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{9-7}{7\times 9}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{11-9}{9\times 11}\times \dfrac{1}{2}$

  $\hspace{2.1em}=\left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11} \right)\times \dfrac{1}{2}$

  $\hspace{2.1em}=\left( 1-\dfrac{1}{11} \right)\times \dfrac{1}{2}$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{5}{11}$．

计算：$\dfrac{1}{2}+\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} \right)+\left( \dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{5}{6} \right)+\cdots +\left( \dfrac{1}{98}+\dfrac{3}{98}+\cdots +\dfrac{97}{98} \right)$=$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$\dfrac{1225}{2}$

• 原式$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2^2}{2\times 2}+\dfrac{3^2}{2\times 3}+\cdots +\dfrac{49^2}{2\times 49}$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}+\cdots +\dfrac{49}{2}$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{1}{2}\times (1+2+3+\cdots +49)$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{1225}{2}$．

计算：$\dfrac{1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{1+101}+\dfrac{1}{2+102}+\dfrac{1}{3+103}+\cdots +\dfrac{1}{50+150}}=\underline{\hspace{3em}}$

【答案】$2$

• 分母$=\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{104}+\dfrac{1}{106}+\cdots +\dfrac{1}{200}$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{53}+\cdots +\dfrac{1}{100} \right)$，

  分子$=\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{100} \right)-2\times \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{100} \right)$

  $\hspace{2.1em}=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\cdots +\dfrac{1}{100}$，

  原式$=\dfrac{\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\cdots +\dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{53}+\cdots +\dfrac{1}{100} \right)}=2$．

  故答案为：$2$．

计算：$\dfrac{5}{1\times 2\times 3}+\dfrac{7}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{19}{8\times 9\times 10}=\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$\dfrac{23}{15}$

• 法1：原式$=\dfrac{2+3}{1\times 2\times 3}+\dfrac{3+4}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{9+10}{8\times 9\times 10}$

  $=\dfrac{2}{1\times 2\times 3}+\dfrac{3}{1\times 2\times 3}+\dfrac{3}{2\times 3\times 4}+\dfrac{4}{2\times 3\times 4}\cdots +\dfrac{9}{8\times 9\times 10}+\dfrac{10}{8\times 9\times 10}$

  $=\left( \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}\cdots +\dfrac{1}{8\times 9} \right)+\left( \dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}\cdots +\dfrac{1}{7\times 9} \right)+\left( \dfrac{1}{2\times 4}+\dfrac{1}{4\times 6}\cdots +\dfrac{1}{8\times 10} \right)$

  $=\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)+\dfrac{1}{2}\times \left( 1-\dfrac{1}{9} \right)+\dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10} \right)$

  $=\dfrac{8}{9}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{8}{9}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5}$

  $=\dfrac{23}{15}$．

  法2：原式$=\dfrac{2\times 3-1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{2\times 4-1}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{2+10-1}{8\times 9\times 10}$

  $=\dfrac{2}{1\times 2}-\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{2}{2\times 3}-\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{2}{8\times 9}-\dfrac{1}{8\times 9\times 10}$

  $=2\times \left( \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}\cdots +\dfrac{1}{8\times 9} \right)-\left( \dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{1}{8\times 9\times 10} \right)$

  $=2\times \left( 1-\dfrac{1}{9} \right)-\dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{1\times 2}-\dfrac{1}{9\times 10} \right)$

  $=\dfrac{16}{9}-\dfrac{11}{45}$

  $=\dfrac{23}{15}$．

  法3：原式$=\dfrac{3+2}{1\times 2\times 3}+\dfrac{3+4}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{3+16}{8\times 9\times 10}$

  $=3\times \left( \dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{1}{8\times 9\times 10} \right)2\times \left( \dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{2}{2\times 3\times 4}+\cdots +\dfrac{8}{8\times 9\times 10} \right)$

  $=3\times \dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{1}{1\times 2}-\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3}-\dfrac{1}{3\times 4}+\cdots +\dfrac{1}{8\times 9}-\dfrac{1}{9\times 10} \right)+2\times \left( \dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\cdots +\dfrac{1}{9\times 10} \right)$

  $=\dfrac{3}{2}\times \left( \dfrac{1}{1\times 2}-\dfrac{1}{9\times 10} \right)+2\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10} \right)$

  $=\dfrac{3}{2}\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{90} \right)+2\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10} \right)=\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{60}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{23}{15}$．

  故答案为：$\dfrac{23}{15}$．

计算：$\dfrac{99}{1\times 2\times 3}+\dfrac{98}{2\times 3\times 4}+\dfrac{97}{3\times 4\times 5}+\cdots +\dfrac{1}{99\times 100\times 101}=\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$\dfrac{2475}{101}$

• 原式$=\dfrac{100-1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{100-2}{2\times 3\times 4}+\dfrac{100-3}{3\times 4\times 5}+\cdots +\dfrac{100-99}{99\times 100\times 101}$

  $=\left( \dfrac{100}{1\times 2\times 3}+\dfrac{100}{2\times 3\times 4}+\dfrac{100}{3\times 4\times 5}+\cdots +\dfrac{100}{99\times 100\times 101} \right)$

  $-\left( \dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\cdots +\dfrac{1}{100\times 101} \right)$

  $=50\times \left( \dfrac{1}{1\times 2}-\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3}-\dfrac{1}{3\times 4}+\cdots +\dfrac{1}{99\times 100}-\dfrac{1}{100\times 101} \right)$

  $-\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\cdots +\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101} \right)$

  $=50\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10100} \right)-\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{101} \right)$

  $=\dfrac{2475}{101}$．

设三个互不相等的有理数，既可表示为$1$，$a+b$，$a$的形式，又可表示为$0$，$\dfrac{b}{a}$，$b$的形式，则${a}^{2019}+{b}^{2020}$的值为$\underline{\hspace{3em}}$．

【答案】$0$

• 根据三个互不相等的有理数，既可表示为$1$，$a+b$，$a$的形式，又可表示为$0$，$\dfrac{b}{a}$，$b$的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即$a+b$与$a$中有一个是$0$，$\dfrac{b}{a}$与$b$中有一个是$1$，由$a\ne 0$可以判断出$a+b=0$，则$a=-b$，$\dfrac{b}{a}=-1$，所以$b=1$，$a=-1$．

  所以原式$=(-1)^{2019}+1^{2020}=-1+1=0$

$x+y$，$x-y$，$xy$，$\dfrac{x}{y}$四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对$(x,y)$．

【答案】$\left( \dfrac{1}{2},-1 \right)$和$\left( -\dfrac{1}{2},-1 \right)$．

• 由于$\dfrac{x}{y}$有意义，所有$y\ne 0$，从而$x+y\ne x-y$，
  因此$xy=\dfrac{x}{y}$，即$x(y^2-1)=0$，
  所有$x=0$或$y=\pm 1$，
  （$1$）若$x=0$，则由$xy=x+y$，或$xy=x-y$，得$y=0$，这样$\dfrac{x}{y}$无意义；
  （$2$）若$y=1$，则由$xy=x+y$得$x=x+1$，
  或由$xy=x-y$得$x=x-1$，都导致矛盾；
  （$3$）若$y=-1$则由$xy=x+y$得$x=\dfrac{1}{2}$，
  由$xy=x-y$得$x=-\dfrac{1}{2}$，
  所以符合要求的数只有$\left( \dfrac{1}{2},-1 \right)$和$\left( -\dfrac{1}{2},-1 \right)$．

由$2016$个互不相等的有理数，每$2015$个的和都是分母为$4034$的最简真分数，求这$2016$个有理数的和.

【答案】$\dfrac{1008}{2015}$

• $2016$个互不相等的有理数，每$2015$个相加得到$2016$个不同的和，$4034=2\times 2017$，分母为$4034$的最简真分数有$4034\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{2017}\right)=2016$个，通过首尾配对，这$2016$个最简真分数的和是$2016\div 2=1008$，这个和也是原来$2016$个有理数和的$2015$倍，所以这$2016$个有理数的和是$\dfrac{1008}{2015}$

求以$2088$为分母的最简真分数的个数，并求出它们的和.

【答案】$672$、$336$

• $2088=2^3\times 3^2 \times 29$，那么$1\sim 2088$中与$2088$互质的个数有
  $2088\times \left(1-\dfrac{1}{2}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{3}\right)\times \left(1-\dfrac{1}{29}\right)=672$个，即以$2088$为分母的最简真分数有$672$个，其中若$(n,2088)=1$，根据辗转相减法可得$(2088-n,2088)=1$，因此首尾配对和都是$1$，这$672$个最简真分数的和是$672\div 2=336$

在整数$1$，$3$，$5$，$7$，$\cdots $，$2k-1$，$\cdots $，$2017$之间填入符号“$+$”和“$-$”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？若最后一项为$2019$呢？

【答案】$1$、$0$

• 由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先可以利用：$1+3+5+\cdots +2017=1009^2$，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为$1$．接下来我们的目标无非是填入符号“$+$”和“$-$”凑出$1$来，考虑到共有$1009$个数，我们需要利用周期性$.$注意到，$(2k-3)-(2k-1)-(2k+1)+(2k+3)=0$，$1009\div 4\cdots 1$，容易构造得
  $1+3-5-7+9+11-13-15+17+\cdots+2011-2013-2015+2017=1$
  若最后一项是$2019$，共$1010$项，因此和为偶数，最小为$0$，构造如下
  $1+3+5-7+9-11+13-15-17+19+\cdots+2013-2015-2017+2019=0$